Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a²+b²的取值范围．

Answer

（1）在△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（C-A）=sin（B-C）．
故有 C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．
（2）由于C=，设A=+α，B=-α，-＜α＜，由正弦定理可得 a2+b2=sin2A+sin2B=
1+cos2α．由-＜2α＜，根据余弦函数的定义域和值域求得 a2+b2的取值范围．
【解析】
（1）在△ABC中，∵，∴=，
化简可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC，即 sin（C-A）=sin（B-C）．
∴C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=．
（2）由于C=，设A=+α，B=-α，-＜α＜，
由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，
∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1-[cos（+2α）+cos（-2α）]
=1+cos2α．
由-＜2α＜，可得-＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为 （，]．