Question

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB'交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

Answer

（1）利用PA2=AD2+DP2，构建函数，可得DP的长度；
（2）表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值；
（3）表示出△ADP的面积，利用导数知识，可求最值．
【解析】
（1）由题意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2   
设DP=y，则PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2，即
（2）记△ADP的面积为S1，则S1==，
当且仅当x=∈（1，2）时，S1取得最大值  
故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好  
（3）记△ADP的面积为S2，则S2S2S2==，
于是S2′=，∴，
关于x的函数S2在（1，）上递增，在（，2）上递减．
所以当时，S2取得最大值  
故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好