Question

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且．
（1）求a₁，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

Answer

（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；
（2）由，即①，得②，两式作差得（n-1）an+1=nan ③，从而有nan+2=（n+1）an+1 ④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．
（1）【解析】
令n=1，则a1=S1==0，
令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2；   
（2）证明：由，即①，得②，
②-①，得（n-1）an+1=nan ③，
于是，nan+2=（n+1）an+1 ④，
③+④，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1，
又a1=0，a2=1，a2-a1=1，
所以数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以an=n-1．                                          
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，
则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，
于是，．                                       
所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．    
当p≥3，且p∈N*时，＜0，
故数列{}（p≥3）为递减数列                                      
于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．      
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，bp，bq成等比数列．