Question

已知函数f（x）=-ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若∃x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；
（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[-a，]，再按（i）-a≥0，（ii）-a＜0两种情况讨论即可；
【解析】
（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，
故f′（x）=-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
又f′（x）=-a=-+-a=-，
故当，即x=e2时，，
所以0，于是a，故a的最小值为．
（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，
由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，
①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，
则f（x）min=f（e2）=，故a，；
②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，
故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[-a，]．
（i）若-a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，
于是，f（x）min=f（e）=e-ae≥e＞，不合题意；
（ii）若-a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x）=0，
且满足：当x∈（e，x）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
所以，，，
所以a-＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；
综上，得a．