Question

如图，已知定点R（0，-3），动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且．
（1）求动点M的轨迹C₁；
（2）圆C₂：x²+（y-1）²=1，过点（0，1）的直线l依次交C₁于A，D两点（从左到右），交C₂于B，C两点（从左到右），求证：为定值．

Answer

（1）设M的坐标，表示出P，Q的坐标，可得的坐标，利用数量积公式，可得轨迹方程，从而可得轨迹；
（2）由题意，=AB•CD，AB=FA-FB=y1+1-1=y1，CD=y2，设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得到结论．
（1）【解析】
设M（x，y），则
由，可得
∴
∵，
∴
∴x2=4y
∴动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线；
（2）证明：由题意，=AB•CD，圆C2：x2+（y-1）2=1的圆心即为抛物线C1的焦点F
设A（x1，y1），D（x2，y2），则AB=FA-FB=y1+1-1=y1，
同理CD=y2，
设直线的方程为x=k（y-1）
代入抛物线方程可得k2y2-（2k2-4）y+k2=0
∴=AB•CD=y1y2=1．