Question

已知数列{a_n}满足：．
（1）若a=-1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=3，试证明：对∀n∈N^*，a_n是4的倍数．

Answer

（1）由题意，令bn=an-1，则，从而可得数列{an}的通项公式；
（2）若a=3，，利用数学归纳法，结合二项式定理，即可证明结论．
（1）【解析】
a=-1时，
令bn=an-1，则
∵b1=-5为奇数，bn也是奇数且只能为-1
∴，即；
（2）证明：a=3时，
①n=1时，a1=4，命题成立；
②设n=k时，命题成立，则存在t∈N*，使得ak=4t
∴=34t-1+1=27•（4-1）4（t-1）+1
∵（4-1）4（t-1）=+…+4+1=4m+1，m∈Z
∴=27•（4m+1）+1=4（27m+7）
∴n=k+1时，命题成立
由①②可知，对∀n∈N*，an是4的倍数．