Question

规定满足“f（-x）=-f（x）”的分段函数叫“对偶函数”，已知函数f（x）=是对偶函数，则
（1）g（x）=    ．
（2）若f[-]＞0对于任意的n∈N°都成立，则m的取值范围是    ．

Answer

（1）先设设x＜0，则-x＞0，代入解析式求出f（-x），再由题意f（-x）=-f（x），求出g（x）；
（2）由（1）求出的解析式，分别求出函数值的范围，进而把条件转化为对于任意的n∈N°恒成立问题，即对于任意的n∈N°恒成立问题，分离常数m并把和式展开，利用裂项相消法进行化简，再求出此式子的最小值即可．
【解析】
（1）由题意设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=x2-4x，
∵f（-x）=-f（x），∴g（x）=-f（-x）=-x2+4x，
（2）由（1）得，，
∴当x＜0时，f（x）=-x2+4x=-（x-2）2+4＜0，
当x≥0时，f（x）=x2+4x=（x+2）2-4≥0，
∵对于任意的n∈N°恒成立，
∴条件转化为对于任意的n∈N°恒成立，
即m＜10×=10（）对于任意的n∈N°成恒立，
令y=10（），即求y的最小值，
则y=10×[（1）+（）+…+（-）]=10（1-），
∵1-≥1-=，∴y的最小值为5．
综上可得，m＜5．
故答案为：-x2+4x；m＜5．