Question

已知椭圆过点，离心率，若点M（x，y）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

Answer

（1）直接把给出的点的坐标代入椭圆方程，结合离心率及隐含条件a2=b2+c2联立方程组求解a2，b2的值，则椭圆方程可求；
（2）设出A，B的坐标，根据新定义得到P，Q的坐标，当斜率存在时设出直线方程y=kx+m，联立直线和椭圆方程后利用根与系数关系求得x1+x2，x1x2，再由以PQ为直径的圆过原点得到A，B的坐标之间的关系3x1x2+4y1y2=0，转化为横坐标的关系后代入x1+x2，x1x2，即可把直线的斜率用截距表示，然后利用弦长公式求出AB的长度，用点到直线的距离公式求出O点到AB的距离，利用整体运算就能求得三角形OAB的面积，斜率不存在时直线方程可直接设为x=m，和椭圆方程联立求出y2，同样代入3x1x2+4y1y2=0后可直接求出m的值，则三角形面积可求．
【解析】
（1）由已知得：，即，
 解得a2=4，b2=3，所以椭圆方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
1°当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m
 联立得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0．
则有△=（8km）2-4（3+4k2）×4（m2-3）=48（3+4k2-m2）＞0
①
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：
，即3x1x2+4y1y2=0•
把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入整理得：
  ②
将①式代入②式得：3+4k2=2m2，
∵3+4k2＞0，∴m2＞0，
则△=48m2＞0．
又点O到直线y=kx+m的距离．
∴==

所以
2°当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（-2＜m＜2）
联立椭圆方程得：
代入3x1x2+4y1y2=0得到，即，y=．

综上：△OAB的面积是定值．
又，所以二者相等．