Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，AC=BC=，∠ACB=90°．AA₁=2，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面B₁CD：
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer

（I）先证线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可；
（II）作平行线，由线线平行证明线面平行即可；
（III）先证明∠CED为异面直线所成的角，再在三角形中利用余弦定理计算即可．
【解析】
（I）证明：∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∠ACB=90°，
∴CC1⊥AC，AC⊥BC，又BC∩CC1=C，
∴AC⊥平面BCC1，BC1⊂平面BCC1，
∴AC⊥BC1．
（II）证明：如图，设CB1∩C1B=E，连接DE，
∵D为AB的中点，E为C1B的中点，∴DE∥AC1，
∵DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD．
（III）【解析】
由DE∥AC1，∠CED为AC1与B1C所成的角，
在△CDE中，DE=AC1==，
CE=B1C==，CD=AB==1，
cos∠CED===，
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．