Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．

Answer

（1）由抛物线x2=4得焦点．设椭圆方程为．由题意可得，再利用及a2=b2+c2即可得出；
（2）由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系．设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，-y1）．直线BE的方程为．把y1，y2分别用x1，x2表示，在代入直线BE的方程即可得出；
（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及判别式，再利用向量的数量积，即可得出其其中范围．当过点M的直线斜率不存在时，比较简单．
（1）【解析】
由抛物线x2=4得焦点．
设椭圆方程为．
由题意可得，解得，
∴椭圆的方程为．
（2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），
联立，消去y得到（4k2+3）x2+32k2x+64k2-12=0   ①
设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，-y1）．
直线BE的方程为．
令y=0，则，
把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式并整理得．②
由①得，，将其代入②并整理得．
∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）．
（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，
联立得（4m2+3）x2+8m2x+4m2-12=0，
则△=（8m2）2-4（4m2+3）（4m2-12）=144（m2+1）＞0．
∴，，
∴=m2（x3x4+x3+x4+1）=-．
∴=x3x4+y3y4==-．
由m2≥0得．
当过点M的直线斜率不存在时，直线ST的方程为x=-1，，，
此时，，
∴•的取值范围为．