Question

已知函数f（x）=x--3lnx+1
（I）求函数f（x）的单调区间：
（II）求f（x）在区间[1，e²]上的值域；
（III）若函数g（x）=7f（x）+m--4x在[l，4]上取得最大值3，求实数m的值．

Answer

（Ⅰ）直接求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由零点对函数定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在区间（1，e2）内，当x=2时，f（x）取得极小值，求出f（1）和f（e2）的值，则f（x）在区间[1，e2]上的值域可求；
（Ⅲ）把函数f（x）解析式代入g（x）=7f（x）+m--4x，整理后利用导函数求出g（x）在[l，4]上取得最大值，由最大值等于3可求实数m的值．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
．
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）的增区间为（0，1）（2，+∞），
减区间为（1，2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在区间（1，e2）内，当x=2时，f（x）取得极小值，
而f（1）=0，f（2）=2-3ln2，．
∵f（2）＜f（1）＜f（e2），
∴f（x）在区间（1，e2）上的值域为；
（Ⅲ）由及，
得．
∴=，x∈[1，4]
当x∈[1，2）时，g′（x）＞0，g（x）在[1，2）上单调递增；
当x∈（2，4]时，g′（x）＜0，g（x）在（2，4]上单调递减．
则g（x）在[1，4]上有最大值g（x）max=g（2）=m-2ln2-2=3．
∴实数m的值为5+2ln2．