Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A、B两点，其中A在第一象限．过点A作x轴的垂线，垂足为C．设直线AB的斜率为k．
（1）若直线AB平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点A到直线BC的距离．

Answer

（1）先确定MN中点的坐标，利用直线AB平分线段MN，可得直线AB过线段MN的中点，从而可求斜率；
（2）求得A，B，C的坐标，确定直线BC的方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论．
【解析】
（1）由题设知，a=2，b=，故M（-2，0），N（0，-），所以线段MN中点的坐标为（-1，-）．…（3分）
由于直线AB平分线段MN，故直线AB过线段MN的中点，
又直线AB过坐标原点，所以k=．…（6分）
（2）当k=2时，直线AB的方程为y=2x，由解得x=，…（8分）
从而A点的坐标是（），B点的坐标为（），…（10分）
于是C点的坐标为（，0）．…（11分）
所以直线BC的方程为x-y-=0．…（12分）
所以点A到直线BC的距离为d==．…（14分）