Question

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0；
⑤abc＜4；
⑥abc＞4．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③⑤
B．①④⑥
C．②③⑤
D．②④⑥

Answer

根据f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．
【解析】
求导函数可得f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f'（x）＞0
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞）
               单调递减区间为（1，3）
所以f（x）极大值=f（1）=1-6+9-abc=4-abc，
       f（x）极小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：
a＜1＜b＜3＜c
及函数有个零点x=b在1～3之间，所以f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
所以0＜abc＜4
∵f（0）=-abc
∴f（0）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0
故答案为：②③⑤