Question

已知椭圆C：的离心率为，且过点Q（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线x+y-1=0上，且满足 （O为坐标原点），求实数t的最小值．

Answer

（1）设椭圆的焦距为2c，由e=，设椭圆方程为，由在椭圆上，能求出椭圆方程．
（2）设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）≥0，知k∈，由此入手能够求出实数t的最小值．
【解析】
（1）设椭圆的焦距为2c，
∵e=，∴a2=2c2，b2=c2，
设椭圆方程为，
∵在椭圆上，
∴，解得c2=1，
∴椭圆方程为．
（2）由题意知直线AB的斜率存在，
设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）≥0，
，
即k∈，
，
∵，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
当k=0时，t=0；
当t≠0时，
，
=，
∵点P在直线x+y-1=0上，
∴，
∴t=．
∵k∈，
∴令h==≤．
当且仅当k=时取等号．
故实数t的最小值为4-4h=．