Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）
（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

Answer

（1）a=5时，表达式中对数的真数大于0，即|x-1|+|x-5|-5＞0，分情况讨论不等式的解集，最后取并集即可得到函数f（x）的定义域．
（2）函数f（x）的定义域为R，即不等式|x-1|+|x-5|＞a恒成立，根据绝对值不等式的性质求出左边的最小值，即可得到实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，
即不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，------------------①
①当x≤1时，不等式①等价于-2x+1＞0，解之得x；
②当1＜x≤5时，不等式①等价于-1＞0，无实数解；
③当x＞5时，不等式①等价于2x-11＞0，解之得x
综上所述，函数f（x）的定义域为（-∞，）∪（，+∞）．
（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，
∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，
∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）min即可，
又∵|x-1|+|x-5|≥|（x-1）+（x-5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）
∴a＜（|x-1|+|x-5|）min即a＜4，可得实数a的取值范围是（-∞，4）．