Question

已知数列{a_n}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有．
（1）当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列a₁、a₂、a₃；
（2）试求出数列{a_n}的任一项a_n与它的前一项a_n-1间的递推关系．是否存在满足条件的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₃=-2012？若存在，求出这样的无穷数列{a_n}的一个通项公式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用数列递推式，n分别取1，2，3，代入计算，即可得到结论；
（2）令Sn=a1+a2+…+an，则（n∈N*）．从而，两式相减，得，再写一式，两式相减，可得数列{an}的任一项an与它的前一项an-1间的递推关系；利用a1=1，a2013=-2012，所以无穷数列{an}的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为-2012，公比为-1的等比数列，从而可得数列的通项．
【解析】
（1）当n=1时，，由a1≠0得a1=1．（1分）
当n=2时，，由a2≠0得a2=2或a2=-1．
当n=3时，，若a2=2得a3=3或a3=-2；若a2=-1得a3=1；（5分）
综上讨论，满足条件的数列有三个：1，2，3或1，2，-2或1，-1，1．（6分）
（2）令Sn=a1+a2+…+an，则（n∈N*）．
从而．（7分）
两式相减，结合an+1≠0，得．（8分）
当n=1时，由（1）知a1=1；
当n≥2时，2an=2（Sn-Sn-1）=，即（an+1+an）（an+1-an-1）=0，
所以an+1=-an或an+1=an+1．（12分）
又a1=1，a2013=-2012，所以无穷数列{an}的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为-2012，公比为-1的等比数列．
故．（14分）