Question

函数y=f（x），x∈D，其中D≠∅．若对任意x∈D，f（|x|）=|f（x）|，则称y=f（x）在D内为对等函数．
（1）指出函数，y=x³，y=2^x在其定义域内哪些为对等函数；
（2）试研究对数函数y=log_ax（a＞0且a≠1）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使y=log_ax在所给集合内成为对等函数；
（3）若{0}⊆D，y=f（x）在D内为对等函数，试研究y=f（x）（x∈D）的奇偶性．

Answer

（1）根据对等函数的定义，我们判断，y=x3是对等函数；
（2）要想一个函数不是“对等函数”关键是根据题中条件对任意x∈D，f（|x|）=|f（x）|，或举出反例；
（3）对任意x∈D，对集合D分类讨论f（x）与f（-x）的关系，最后给出结论．
【解析】
（1），y=x3是对等函数；（4分）
（2）研究对数函数y=logax，其定义域为（0，+∞），所以loga|x|=logax，又|logax|≥0，所以当且仅当logax≥0时f（|x|）=|f（x）|成立．所以对数函数y=logax在其定义域（0，+∞）内不是对等函数．（6分）
当0＜a＜1时，若x∈（0，1]，则logax≥0，此时y=logax是对等函数；
当a＞1时，若x∈[1，+∞），则logax≥0，此时y=logax是对等函数；
总之，当0＜a＜1时，在（0，1]及其任意非空子集内y=logax是对等函数；当a＞1时，在[1，+∞）及其任意非空子集内y=logax是对等函数．（10分）
（3）对任意x∈D，讨论f（x）与f（-x）的关系．
1）若D不关于原点对称，如虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数；（11分）
2）若D={0}，则f（0）=|f（0）|≥0．当f（0）=0时，f（x）既是奇函数又是偶函数；当f（0）＞0时，f（x）是偶函数．（13分）
3）以下均在D关于原点对称的假设下讨论．
当x＞0时，f（|x|）=f（x）=|f（x）|≥0；
当x＜0时，f（|x|）=f（-x）=|f（x）|，若|f（x）|=f（x），则有f（-x）=f（x）；此时，当x＞0时，-x＜0，令-x=t，则x=-t，且t＜0，由前面讨论知，f（-t）=f（t），从而f（x）=f（-x）；
综上讨论，当x＜0时，若f（x）≥0，则f（x）是偶函数．（15分）
若当x＜0时，f（x）≤0，则f（|x|）=f（-x）=|f（x）|=-f（x）；此时，当x＞0时，-x＜0，令-x=t，则x=-t，且t＜0，由前面讨论知，f（-t）=-f（t），从而f（x）=-f（-x）；
若f（0）=0，则对任意x∈D，都有f（-x）=-f（x）．
综上讨论，若当x＜0时，f（x）≤0，且f（0）=0，则f（x）是奇函数．若f（0）≠0，则f（x）不是奇函数也不是偶函数．（18分）