Question

正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是    ．

Answer

由平面几何的知识可得F2A1=，即正六边形AA2B2C2D2E2F2，与正六边形A1B1C1D1E1F1的相似比等于，可得面积之比为=，故正六边形的面积构成以为首项，为公比的等比数列，代入求和公式可得．
【解析】
由已知条件可得∠A1F1A2=A2A1F1=30°，∠A1A2F1=120°，
所以△A1A2F1是等腰三角形，可得A1A2=，
同理在△F1F2E1中可得F2E1=，
故F2A1=A1E1-A1A2-F2E1=，
即正六边形AA2B2C2D2E2F2，与正六边形A1B1C1D1E1F1的相似比等于，
故面积之比为=，
可正六边形A1B1C1D1E1F1的面积S1=6×=，
如此继续下去，正六边形的面积构成以为首项，为公比的等比数列，
故所有这些六边形的面积和S==
故答案为：