Question

已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{a_n}是等差数列，a₁₀₀₇＞0，则f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）的值（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负

Answer

由题意可得f（0）=0，且当x＞0，f（0）＞0； 当x＜0，f（0）＜0．由数列{an}是等差数列，a1007＞0，可得f（a1007）＞0  可得 a1+a2013=2a1007＞0，故f（a1）+f（a2013）＞0，同理可得，f（a2）+f（a2012）＞0，f（a3）+f（a2011）＞0，…，从而得到所求式子的符号．
【解析】
∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，∴f（0）=0，且当x＞0，f（0）＞0； 当x＜0，f（0）＜0．
∵数列{an}是等差数列，a1007＞0，故f（a1007）＞0．
再根据 a1+a2013=2a1007＞0，∴f（a1）+f（a2013）＞0．
同理可得，f（a2）+f（a2012）＞0，f（a3）+f（a2011）＞0，…，
∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2012）+f（a2013）＞0，
故选A．