Question

如图已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求
（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer

（1）解法 一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，可得，于是四边形AMCN是平行四边形，可得CN∥AM，因此∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角，利用直角三角形的边角关系求出即可．
解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角；
（2）由PA垂直于底面，利用线面垂直的性质定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面积计算公式分别计算即可．
【解析】
（1）解法 一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，
∴，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴CN∥AM，
∴∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角．   
因为PA垂直于底面，所以PA⊥AM，
点M分别是DC的中点，DC=6，∴．
在Rt△PAM中，PA=8，，
∴，
∴，
即异面直线PM与CN所成角的大小为．
解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），
∴，，
直线PM与CN所成角为θ，向量的夹角为ϕ，
∵，
又，，
即异面直线PM与CN所成角的大小为．
（2）因为PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，
又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．
同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PAD，
∵底面四边形ABCD是边长为6的正方形，所以S底=36
又S侧=S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD=．
S表=108+36=144
所以四棱锥P-ABCD的表面积是144．