Question

我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a≠1，a≠0，T≠0）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数y=f（x）满足T=1且图象关于直线x=1对称．求证：函数f（x）是偶函数；
（2）当T=1，a=2时，某个似周期函数在0≤x＜1时的解析式为f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈Z的解析式；
（3）对于确定的T＞0且0＜x≤T时，f（x）=3^x，试研究似周期函数函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）利用函数的对称性与满足性质f（x+T）=af（x），根据偶函数的定义证明即可；
（2）利用函数为似周期函数的性质求解即可；
（3）利用分类讨论思想，分析函数为单调函数的条件求解．
【解析】
（1）∵x∈R关于原点对称，
又函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1-x）=f（1+x）①
又T=1，∴f（x+1）=af（x），②，
用-x代替x得f（-x+1）=af（-x），③
由①②③可知af（x）=af（-x），∵a≠1且a≠0，∴f（x）=f（-x）．即函数f（x）是偶函数；
（2）当n≤x＜n+1（n∈Z）时，0≤x-n＜1（n∈Z）f（x）=2f（x-1）=22f（x-2）=…=2nf（x-n）=2n（x-n）（n+1-x）；
（3）当nT＜x≤（n+1）T（n∈N）时，0＜x-nT≤T（n∈N）f（x）=af（x-T）=a2f（x-2T）=…=anf（x-nT）=an3x-nT
显然a＜0时，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数，
又a＞0时，f（x）=an3x-nT，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N是增函数，
此时f（x）∈（an，an3T]，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N，
若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有an+1≥an3T，
解得a≥3T．