Question

在△ABC中，已知acosB+bcosA=b，
（1）求证C=B；
（2）若∠ABC的平分线交AC于D，且sin=，求的值．

Answer

（1）由acosB+bcosA=b 和正弦定理可得 sin（A+B）=sinB，即sinC=sinB，C=B．
（2）△BCD中，用正弦定理可得==2cos，设 A=x，B=2α=C，由4α+x=180°得到 α+=45°，利用两角差的余弦公式求出cosα=cos（45°-） 的值，即可得到的值．
【解析】
（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，
∴sin（A+B）=sinB，即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B．
（2）△BCD中，用正弦定理可得=，由第一问知道C=B，而BD是角平分线，
∴=2cos．
由于三角形内角和为180°，设 A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，故α+=45°．
∵sin=，∴cos=，∴cosα=cos（45°-）=cos45°cos+sin45°sin=．
∴=2cos=2cosα=．