Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的动直线ι交抛物线与A，B两点．
（1）若△AOB的面积为，求直线ι的斜率；
（2）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在求出定点T的坐标，若不存在说明理由．

Answer

（1）易求抛物线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：y=k（x+1）（k≠0），代入抛物线方程消掉y得x的二次方程，韦达定理、弦长公式及三角形面积公式可表示出△AOB的面积，令其为，解出k即可；
（2）假设存在T（a，0）满足题意，由题意可得kAT+kBT=0，整理为关于点A、B横坐标的等式，代入韦达定理可得关于a的方程，解出即a值可作出判断；
（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（-1，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知直线l斜率存在，设l：y=k（x+1）（k≠0），代入y2=4x得，k2x2+（2k2-4）x+k2=0，
由△＞0得-1＜k＜1，，
|AB|=，h=，
由=，得k=，满足△＞0，
（2）假设存在T（a，0）满足题意，
因为TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，
所以直线TA，TB的斜率之和为0，则
=
==0，
∴k[2x1x2-（a-1）（x1+x2）-2a]=0，即，
整理得：a-1=0，解得a=1，
∴存在T（1，0）．