Question

设函数f（x）=x1nx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）过点A（-e^-2，0）作函数y=f（x）的切线，求切线方程．

Answer

（1）先求出函数的定义域和导数，再求函数的“临界点”，分别求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，即求出函数的单调区间，再求出函数的最小值；
（2）先求出函数F（x）的定义域和导数F′（x），并对F′（x）进行化简，再对a分类：a≥0时和a＜0时，分别求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，下结论求出单调区间；
（3）先设切点坐标，再由导数的几何意义和斜率的坐标公式，把A和切点的坐标代入列出方程，再构造函数，结合此函数的单调性求出函数唯一的零点，即是对应方程的根x，代入f'（x）求出斜率，再代入点斜式方程化为一般式．
（1）【解析】
由题意得函数的定义域为（0，+∞），
且f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=．
∵当x∈（0，）时，f'（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，
∴函数在（0，）上递减，在和（，+∞）上递增，
∴当x=时，函数取极小值，也最小值为f（x）min=，
（2）由题意得F（x）=ax2+lnx+1，且定义域为（0，+∞），
F′（x）=2ax+=，
①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，
令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得0＜x＜；
令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得x＞．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．
（3）设切点T（x，y），则y=xlnx，
又kAT=f′（x），把A（-e-2，0）代入得，
，即e2x+lnx+1=0，
设h（x）=e2x+lnx+1，且定义域为（0，+∞），h′（x）=e2+，
∴x＞0时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数h（x）最多只有一个零点，
即e2x+lnx+1=0最多只有一个根，
根据h（x）=e2x+lnx+1特点：①“使e2x为整数”，②“使lnx为整数”，
需要给x特殊值（取1或对数底数的幂的形式）使h（x）=0，
易得h（）==0，
∴即为函数h（x）唯一的零点，也是对应方程e2x+lnx+1=0唯一的实根，
由f'（x）=ln+1=-1得，kAT=-1，
则所求的切线方程是y-0=-（x+e-2），即．