Question

在△ABC中，∠B=90°，AC=，D，E两点分别在AB，AC上．使=2，DE=3．将△ABC沿DE折成直二面角，则二面角A-EC-B的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由已知中B=90°，AC=，D，E两点分别在AB，AC上．使=2，A-DE-B是直二面角，可得AD⊥底面DBCE，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF，则∠AFD为二面角A-EC-B的平面角，解Rt△DFE即可求出二面角A-EC-B的余弦值．
【解析】
∵=2，
∴DE∥BC，
又∵∠B=90°，
∴AD⊥DE．
∵A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，
过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．
由三垂线定理知AF⊥FC，
故∠AFD为二面角A-EC-B的平面角．
在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，DB=2，EC=，
∴sin∠BCE==．
在Rt△DFE中，DE=3，
DF=DEsin∠DEF=DEsin∠BCE=．
在Rt△AFD中，AD=4，cos∠AFD==
故选C