Question

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是    ．

Answer

根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A-BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．
【解析】
根据题意，还原出如图的三棱锥A-BCD
底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4
侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3
侧面△ACD中，AC==5
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD
∵BC⊥CD，AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC
因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，
∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==
由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6
又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10
∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6
故答案为：30+6