Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面SAP；
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的余弦的大小．

Answer

（Ⅰ）欲证PD⊥平面SAP，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PD与平面SAP内两相交直线垂直，根据题意可知∠SBA是SB与平面ABCD所成的角，根据勾股定理可知AP⊥PD，根据线面垂直的性质可知SA⊥PD，而SA∩AP=A满足定理所需条件；
（Ⅱ）设Q为AD的中点，连接PQ，根据PQ⊥SD，SD⊥PR，则∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角，在Rt△PRQ中，求出二面角A-SD-P的余弦即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为SA⊥底面ABCD，
所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角（1分）
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，（3分）
又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以AP⊥PD．（4分）
因为SA⊥底面ABCD，PD⊂平面ABCD，
所以SA⊥PD，（5分）
由于SA∩AP=A所以PD⊥平面SAP．（6分）

（Ⅱ）设Q为AD的中点，连接PQ，（7分）
由于SA⊥底面ABCD，且SA⊂平面SAD，
则平面SAD⊥平面PAD（8分）
∵PQ⊥AD，∴PQ⊥平面SAD，∵SD⊂平面SAD，∴PQ⊥SD．
过Q作QR⊥SD，垂足为R，连接PR，则SD⊥面QPR．
又PR⊂面QPR，∴SD⊥PR，∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．（10分）
容易证明△DRQ∽△DAS，则．
因为DQ=1，SA=1，SD=，
所以．（12分）
在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，，
所以．（13分）
所以二面角A-SD-P的余弦为．（14分）