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满分5
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高中数学试题
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已知函数. (1)如果a>0,函数在区间上存在极值,求实数a的取值范围; (2)...
已知函数
.
(1)如果a>0,函数在区间
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式
恒成立,求实数k的取值范围.
(1)因为,x>0,x>0,则,利用函数的单调性和函数f(x)在区间(a,a+)(其中a>0)上存在极值,能求出实数a的取值范围. (2)不等式,即为,构造函数,利用导数知识能求出实数k的取值范围. 【解析】 (1)因为,x>0,则,(1分) 当0<x<1时,f'(x)>0; 当x>1时,f'(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在x=1处取得极大值. 因为函数f(x)在区间(a,a+)(其中a>0)上存在极值, 所以解得. (2)不等式,即为,记, 所以= 令h(x)=x-lnx, 则,∵x≥1,∴h'(x)≥0,∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,∴[h(x)]min=h(1)=1>0, 从而g'(x)>0, 故g(x)在[1,+∞)上也单调递增,所以[g(x)]min=g(1)=2, 所以k≤2.
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考点分析:
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.
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.
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*
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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