Question

为征求个人所得税修改建议，某机构对居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500））．
（I）求居民月收入在[3000，4000）的频率；
（II）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，设月收入在[3500，4000）的这段应抽人数为m，求m的值．
（III）若从（II）中被抽取的m人中再选派两人参加一项慈善活动，求其中的甲、乙两人至少有一个被选中的概率．

Answer

（I）由频率分布直方图可得居民月收入在[3000，4000）包括了两组，由分布图的意义，计算出2个小矩形面积之和即可；
（Ⅱ）先算出收入在[3500，4000）的这段的人数，再由分层抽样的规则计算出本段中应抽取的人数即可；
（Ⅲ）记“5人中任选两人，甲、乙至少有一个选中”为事件A，设在（II）中的5人为甲、乙、丙、丁、戊，用列举法可得从5人中任选派两人包含的情况数目和事件A包含的事件数目，由古典概型公式，计算可得答案．
【解析】
【解析】
（I）根据题意，月收入在[3000，4000）的为第五、六组，
则其频率0.0003×（3500-3000）+0.0001×（4000-3500）=0.2，
（Ⅱ）由频率分布直方图可得，月收入在[3500，4000）即第六组的频率为0.0001×（4000-3500）=0.05，
总人数为10000，则改组的频数为10000×0.05=500，
而从10000人中用分层抽样抽出100人，抽取的比例为0.01，
故应该在[3500，4000）中抽取的人数为500×0.01=5；
（III）记“5人中任选两人，甲、乙至少有一个选中”为事件A，设在（II）中的5人为甲、乙、丙、丁、戊，
则从5人中任选派两人包含（甲，乙）（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊）共10个基本事件，
则事件A包含7个基本事件，
∴．