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已知:四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且...

manfen5.com 满分网已知:四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1.
(Ⅰ)求证:BC∥平面PAD;
(Ⅱ)若E、F分别为PB、AD的中点,求证:EF⊥平面PBC;
(Ⅲ)求二面角B-PA-C的余弦值.
(Ⅰ)欲证BC∥平面PAD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC与平面PAD内一直线平行,而BC∥AD,AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,满足定理所需的条件; (Ⅱ)欲证EF⊥平面PBC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF与平面PBC内两相交直线垂直,根据线面垂直的性质可知BC⊥EF,根据等腰三角形可知EF⊥PC,PC∩BC=C,满足定理所需的条件; (Ⅲ)设PA的中点为M,连接MC,MC⊥PA,ME⊥PA,则∠EMC为所求二面角的平面角,在△MEC中,求出三边,然后利用余弦定理进行求解即可. (Ⅰ)【解析】 因为ABCD是正方形,所以BC∥AD. 因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD, 所以BC∥平面PAD.(4分) (Ⅱ)证明:因为PD⊥底面ABCD, 且ABCD是正方形,所以PC⊥BC. 设BC的中点为G, 连接EG,FG,则EG∥PC,FG∥DC. 所以BC⊥EG,BC⊥FG. 因为EG∩FG=G,所以BC⊥面EFG.因为EF⊂面EFG, 所以BC⊥EF.①(6分) 又设PC的中点为H,且E为PB中点,连接DH, 所以EHBC.又BCAD,且EHAD. 所以四边形EHDF是平行四边形. 所以EF∥DH. 因为等腰直角△PDC中,H为底边PC的中点, 所以DH⊥PC,即EF⊥PC.② 因为PC∩BC=C,③ 由①②③知EF⊥平面PBC.(8分) (②的证明也可以通过连接PF、FB,由△PFB为等腰三角形证明) (Ⅲ)【解析】 设PA的中点为M,连接MC, 依条件可知△PAC中PC=AC, 所以MC⊥PA.① 又PD⊥平面ABCD,∠BAD=90°, 所以AB⊥PA. 因为M、E均为中点, 所以ME∥AB. 所以ME⊥PA.② 由①②知∠EMC为所求二面角的平面角.(11分) 连接EC,在△MEC中,容易求出ME=,MC=,EC=. 所以cos∠EMC==,即所求二面角的余弦值是.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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