Question

已知数列{a_n} 满足：a₁=1，a₂=，，且a_n+2=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅲ）求下表中前n行所有数的和S_n


…
．

Answer

（Ⅰ）由条件a1=1，，an+2=（n∈N*），得．所以，由此能够证明数列为等差数列．
（Ⅱ）由，知•…=2×3×…×n=n!，由此能求出．
（Ⅲ）由=，（k=1，2，3，…，n），知第n行各数之和 =2n+1-2．由此能求出表中前n行所有数的和Sn．
【解析】
（Ⅰ）由条件a1=1，，an+2=（n∈N*），
得．
∴，
∴数列为等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴•…=2×3×…×n=n!，
∴．…（8分）
（Ⅲ）∵=，（k=1，2，3，…，n）  …（10分）
∴第n行各数之和 
=Cn+11+Cn+21+…+Cn+1n
=2n+1-2．
∴表中前n行所有数的和
Sn=（22-2）+（23-2）+…+（2n+1-2）
=（22+23+…+2n+1）-2n
=
=2n+2-2n-4．（n=1，2，…）…（12分）