Question

定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）=f（3-x），若f（1）=-2，则2012f（2012）-2013f（2013）=（ ）
A．-4026
B．4026
C．-4024
D．4024

Answer

由条件f（x+1）=f（3-x），可得f（x）=f（4-x），f（-x）=f（4+x）．再由函数f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x）．综合可得-f（x）=f（x+4），可得f（x）=f（x+8），故函数f（x）的周期为8．利用周期性求得f（2012）和f（2013）的值，即可求得2012f（2012）-2013f（2013）的值．
【解析】
由于函数f（x）对任意x∈R都有f（x+1）=f（3-x），∴f（x）=f（4-x），∴f（-x）=f（4+x）．
再由函数f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），∴-f（x）=f（x+4），∴f（x）=f（x+8），
故函数f（x）的周期为8．
∴f（2012）=f（8×251+4）=f（4）=f（4-4）=f（0）=0，
f（2013）=f（251×8+5）=f（5）=f（4-5）=f（-1）=-f（10=2，
2012f（2012）-2013f（2013）=0-2013×2=-4026，
故选A．