Question

已知数列{a_n}中a₁=2，，数列{b_n}中，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{}的前n项和，求；
（Ⅲ）设T_n是数列的前n项和，求证：．

Answer

（Ⅰ）由条件可得，再由，从而得到  ，由此证得结论
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=n，于是=，用裂项法求出的值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知 =，求出Tn的解析式，可得Tn 的解析式，用错位相减法求出Tn的解析式，
从而可得要证的不等式成立．
【解析】
（Ⅰ），而 ，
∴．n∈N*
∴{bn}是首项为，公差为1的等差数列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=n，，
于是=，
故有=
=6．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知 =，
则．∴．
则 +…+=，
∴Tn=．     （14分）