Question

已知角α，β∈（0，），且tan（α+β）=-3，sinβ=2sin（2α+β），则α=    ．

Answer

由题意可得sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，利用两角和差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求出tanα=1，再由角α的范围求得α的值．
【解析】
∵sinβ=2sin（2α+β），∴sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα，
化简可得 sin（α+β）cosα=-3cos（α+β）sinα，即 tan（α+β）=-3tanα，
即tan（α+β）=-3，化简可得tanα=1．
再由角α，β∈（0，），可得α=，
故答案为 ．