Question

已知a＞0，a≠1，函数若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大，则a的值为    ．

Answer

分0＜a＜1和a＞1时两种情况加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，并结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，解之即得满足条件的实数a的值．
【解析】
①当0＜a＜1时，可得
在[0，1]上，f（x）=ax是减函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（0）=a=1＞-1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；
而f（2）=-2+a＜a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=-2+a
因此，-2+a+=1，解之得a=∈（0，1）符合题意；
②当a＞1时，可得
在[0，1]上，f（x）=ax是增函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（1）=a＞-1+a，∴函数的最大值为f（1）=a
而f（2）=-2+a，f（0）=a=1，可得
i）当a∈（1，3]时，-2+a＜1，得f（2）=-2+a为函数的最小值，
因此，-2+a+=a矛盾，找不出a的值．
ii）当a∈（3，+∞）时，-2+a＞1，得f（0）=1为函数的最小值，
因此，1+=a，解之得a=∈（3，+∞），符合题意．
综上所述，实数a的值为或
故答案为：或