Question

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的俯视图是边长为3的正方形，侧视图是长为3宽为的矩形．
（1）求该四棱柱的体积；
（2）取DD₁的中点E，证明：面BCE⊥面ADD₁A₁．

Answer

（1）可得底面ABCD是矩形，侧面ABB1A1与底面垂直，过A1作底面垂线的垂足是AB的中点，故体积V=SABCD×h，代入数据计算可得；（2）连接CD1，由△CDD1是正三角形可得CE⊥DD1，由线面垂直的性质可得AD⊥CE，可判CE⊥面ADD1A1，由面面垂直的判定可得结论．
【解析】
（1）由题意可得四棱柱的底面ABCD是矩形，侧面ABB1A1与底面垂直，
过A1作底面垂线的垂足是AB的中点，
所以四棱柱的体积V=SABCD×h=AB×AD×h
==…（6分）
（2）连接CD1，依题意△CDD1是正三角形，所以CE⊥DD1，
又AD⊥面CDD1C1，CE⊂面CDD1C1，所以AD⊥CE，
因为AD∩DD1=D，所以CE⊥面ADD1A1，
因为CE⊂面BCE，面BCE⊥面ADD1A1…（12分）