Question

某产品生产成本C与产量q（q∈N^*））的函数关系式为C=100+4q，销售单价P与产量q的函数关系式为p=25-q．
（1）产量q为何值时，利润最大？
（2）产量q为何值时，每件产品的平均利润最大？

Answer

（1）表示出销售收入R、利润L，根据二次函数的性质即可求得答案；
（2）每件产品的平均利润f（q）=，利用导数即可求得最大值及产量q值，注意q为正整数．
【解析】
（1）销售收入R=q×p=25q-，
利润L=R-C=-+21q-100（0＜q＜200），
L=-，
所以产量q=84时，利润L最大；
（2）每件产品的平均利润f（q）==21-，
f′（q）=-+，
解f′（q）=0得q=20，
0＜q＜20时，f′（q）＞0，f（q）单调递增；
20＜q＜200时，f′（q）＜0，f（q）单调递减，
因为28＜20＜29，且f（28）＞f（29），
所以产量q=28时，每件产品的平均利润L最大．
答：产量q=28时，每件产品的平均利润最大．