Question

如图，已知平面上直线l₁∥l₂，A、B分别是l₁、l₂上的动点，C是l₁，l₂之间一定点，C到l₁的距离CM=1，C到l₂的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对 边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA
（1）判断三角形△ABC的形状；
（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．

Answer

（1）利用正弦定理，结合结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A，从而可三角形△ABC的形状；
（2）记∠ACM=θ，表示出f（θ）=，利用辅助角公式化简，即可求f（θ）的最大值．
【解析】
（1）由正弦定理可得：
结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A
∵a＞b，∴A＞B
∵A，B∈（0，π），∴2B+2A=π，∴A+B=，即C=
∴△ABC是直角三角形；
（2）记∠ACM=θ，由（1）得∠BCN=
∴AC=，BC=
∴f（θ）==cosθ+=cos（θ-），
∴θ=时，f（θ）的最大值为．