Question

设点P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，其中F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF₂F₁=3，则双曲线的离心率为    ．

Answer

先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率
【解析】
∵圆x2+y2=a2+b2的半径r==c，
∴F1F2是圆的直径，
∴∠F1PF2=90°
依据双曲线的定义：|PF1|-|PF2|=2a，
又∵在Rt△F1PF2中，tan∠PF2F1=3，
即|PF1|=3|PF2|，
∴|PF1|=3a，|PF2|=a，
在直角三角形F1PF2中
由（3a）2+a2=（2c）2，
得e==．
故答案为：．