Question

已知抛物线C：y²=4x，F是抛物线的焦点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是C上异于 原点O的两个不重合点，OA丄OB，且AB与x轴交于点T
（1）求x₁x₂的值；
（2）求T的坐标；
（3）当点A在C上运动时，动点R满足：，求点R的轨迹方程．

Answer

（1）利用数量积公式，结合A，B在抛物线上，即可求x1x2的值；
（2）分类讨论，确定OA的方程与抛物线联立，即可求T的坐标；
（3）利用动点R满足：，确定坐标之间的关系，利用点差法，结合AB的中点M（），点T（4，0）都在直线AB上，即可求点R的轨迹方程．
【解析】
（1）由OA丄OB，可得x1x2+y1y2=0
∵，，∴
代入上式得=0
∵y1y2≠0，∴y1y2=-16，∴x1x2=16；
（2）设T（t，0），当x1≠x2时，A，B，T三点共线，∴=
∴（y2-y1）t=y2x1-y1x2=-4（y1-y2）
∵y1≠y2，∴t=4
当x1=x2时，∵OA⊥OB，此时△AOB为等腰直角三角形，x1=x2=t，直线OA的方程式为y=x
与抛物线联立，解得t=x1=4
∴T的坐标是（4，0）；
（3）设R（x，y），由F（1，0），，得（x1-1，y1）+（x2-1，y2）=（x-1，y）
即
∵，，∴两式相减可得（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2）
当x1≠x2时，
∵AB的中点M（），点T（4，0）都在直线AB上，
∴kAB=kTM，即=代入上式得y•=4
化简可得y2=4x-28
当x1=x2时，点R（7，0）符合上式
综上可知点R的轨迹方程是y2=4x-28．