Question

已知动点 M 到点 F（0，1）的距离与到直线 y=4 的距离之和为 5．
（1）求动点 M 的轨迹 E 的方程，并画出图形；
（2）若直线 l：y=x+m 与轨迹 E 有两个不同的公共点 A、B，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求弦长|AB|的最大值．

Answer

（1）设动点M的坐标为（x，y），根据两点的距离公式结合题意建立关于x、y的等式，化简整理得到x2=4y（y≤4）或x2=-16（y-5）（y＞4），从而得到轨迹是由两个抛物线弧连接而成，其图形如图所示；
（2）根据轨迹E的形状，直线l：y=x+m分别将与抛物线段E1：y=（-4≤x≤4）和y=-+5（（-4≤x≤4）联解，得到直线l与轨迹E有唯一公共点的两个界点处m的值，再将直线l平移进行观察，即可得到实数m的取值范围；
（3）结合（2）的结论，将两个抛物线段E1与E2的方程与直线l方程联解，可得交点A．B的横坐标关于m的式子，运用两点间的距离公式算出|AB|=（xB-xA）=2（+2-5）．运用导数研究f（m）=+2（0≤m＜8）的单调性，即可得到当m=1时，|AB|的最大值为20-10．
【解析】
（1）设动点M的坐标为（x，y），根据题意得M的坐标满足
+|y-4|=5
化简整理，得x2=4y（y≤4）或x2=-16（y-5）（y＞4）
其图形是抛物线y=和y=-+5位于-4≤x≤4的部分，如右图所示
（2）设抛物线y=和y=-+5位于-4≤x≤4的部分，分别记为
曲线E1和E2，可得E1与E2的公共点分别为C（-4，4）和D（4，4）
当直线l：y=x+m经过点C（-4，4），m=8
则由，解得或
∵点（-12，4）不是抛物线段E2上的点
∴要使直线l：y=x+m与轨迹E有两个不同的公共点，必须m＜8
当线l：y=x+m与抛物线y=相切时，联解直线与抛物线方程得切点坐标为（2，1），可得m=-1
因为切点（2，1）在曲线E1上，所以要使直线l：y=x+m与轨迹E有两个不同的公共点，必须m＞-1．
综上所述，可得实数m的取值范围为（-1，-8）；
（3）当-1≤m＜0时，直线l与轨迹E的两个不同的公共点A、B均在抛物线段E1上，且0＜|AB|≤OD=4
当0≤m＜8时，直线l与轨迹E的两个不同的公共点A、B分别在抛物线段E1上和抛物线段E2上，
且A点是直线l与抛物线y=的两个交点中位于左下方的点，
B点是直线l与抛物线y=-+5的两个交点中位于右上方的点（如图所示）
由，解之得x=2±2，点A的横坐标为xA=2-2，
由，解之得x=-8±4，点B的横坐标为xB=-8+4．
∴|AB|=（xB-xA）=2（+2-5）
令f（m）=+2（0≤m＜8）
由f'（m）=-==
∴当m∈[0，1）时，f'（m）＞0，f（m）是单调增函数；当m∈（1，8）时，f'（m）＜0，f（m）是单调减函数
因此，当m=1时，f（m）取得最大值[f（m）]max=f（1）=5，
即当m=1时，|AB|的最大值为20-10．