Question

已知椭圆+=1（a＞1）的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y2=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），点M在x轴上方，直线F₁M与抛物线C相切．
（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（2）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

Answer

（1）由c2=a2-b2即可得到椭圆的焦点，进而得到p即抛物线的方程，设点M的坐标写出方程，与抛物线的方程联立，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，由相切得到判别式△=0即可求出；
（2）设A，B．即可表示出kMA，kMB，由△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得kMA=-kMB．进而可证明kAB为定值．
【解析】
（1）由椭圆方程得半焦距=1．
∴椭圆焦点为F1（-1，0），F2（1，0）．
又抛物线C的焦点为，∴，解得p=2．∴抛物线C的方程：y2=4x．
∵点M（x1，y1）在抛物线C上，
∴，直线F1M的方程为．
代入抛物线C得，即．
∴         
∵F1M与抛物线C相切，∴△==0，∴x1=1．
∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．    
（2）直线AB的斜率为定值-1．
证明如下：设A，B．
则=，同理，
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴kMA=-kMB．
即，
化为y1+y2+4=0得y1+y2=-4．
∴kAB====-1．
所以直线AB的斜率为定值-1．