Question

在平面直角坐标系xoy中，动点P在椭圆C₁：+y²=1上，动点Q是动圆C₂：x²+y²=r²（1＜r＜2）上一点．
（1）求证：动点P到椭圆C₁的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）设椭圆C1上的三点A（x₁，y₁），B（1，），C（x₂，y₂）与点F（1，0）的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点为？请说明理由．
（3）若直线PQ与椭圆C₁和动圆C₂均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．

Answer

（1）设动点P（x，y），则，根据两点间距离公式、点到直线的距离公式即可计算得到右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）由（1）结论可用离心率及点A、B、C横坐标表示|AF|、|BF|、|CF|，由其成等差数列可得x1+x2=2，由A，C在椭圆上得，，两式相减整理得直线AC斜率，设线段AC的中点（m，n），由点斜式可得AC垂直平分线方程，由中点坐标公式可把该垂直平分线方程化为知含参数n的方程，据此可得定点．
（3）易知直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得，由直线与椭圆相切得△=0，x1=-①，由直线PQ与圆C2相切，则②，联立①②可消掉m，由勾股定理可把|PQ|2表示为r的函数，再用基本不等式可得其最大值；
（1）证明：设动点P（x，y），则，
右焦点的距离与到直线x=2的距离之比为：
==，
而a=，c=1，所以离心率e=，
故动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）由（1）可得|AF|=，|BF|=，|CF|=，
因为2|BF|=|AF|+|CF|，
所以=2×，即得x1+x2=2，
因为A，C在椭圆上，故有，，两式相减整理得：
=-，
设线段AC的中点（m，n），而m==1，n=，
所以与直线AC垂直的直线斜率为k′AC=y2+y1=2n，
则AC垂直平分线方程为y-n=2n（x-1），即y=n（2x-1）经过定点（，0）；
（3）依题意知，直线PQ的斜率显然存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于直线方程PQ与椭圆C1相切，点P为切点，从而有
由得，
故△=（4km）2-4×2（m2-1）（2k2+1）=0，从而可得m2=1+2k2，x1=-①，
直线PQ与圆C2相切，则，得m2=r2（1+k2）②，
由①②得，且-r2=+（1-）-r2
=1+-r2=1+-r2=3-r2，即|PQ|≤-1，
当且仅当时取等号，
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值为-1．