Question

如图已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且，求△GOH面积的最小值；
（3）在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x-1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由|AO|=2，=OAcos60°可求得p，从而可求得抛物线C的方程；继而可求得圆M的半径r，从而可求其方程；
（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，由=4x1，=4x2，可求得x1x2=16，利用三角形的面积公式，结合基本不等式即可求得△GOH面积的最小值；
（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x，y），利用P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，=4x3，=4x4，两式相减可求得y=-2k，最后利用D（x，y）在m：y=k（x-1）（k≠0）上即可知点D（x，y）在抛物线外，从而可得答案．
【解析】
（1）∵，即p=2，
∴所求抛物线的方程为y2=4x--------------------------------（2分）
∴设圆的半径为r，则，∴圆的方程为（x-2）2+y2=4．--------------（4分）
（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，
∵=4x1，=4x2，
∴x1x2=16，--------------------------------（6分）
∵=，
∴=•=（+）（+）=，
=[+4x1x2（x1+x2）+16x1x2]
≥[+4x1x2•2+16x1x2]
=256
∴≥16，当且仅当x1=x2=2时取等号，
∴△GOH面积最小值为16．-------------------------------------------（9分）
（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x，y）
∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，
∴=4x3，=4x4，
两式相减得：（y3-y4）（y3+y4）=4（x3-x4）--------------------------------（11分）
∴y3+y4=4•==-4k，
∴y=-2k
∵D（x，y）在m：y=k（x-1）（k≠0）上
∴x=-1＜0，点D（x，y）在抛物线外--------------------------------（13分）
∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．--------------------------（14分）