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在平面直角坐标系内,动圆C过定点F(1,0),且与定直线x=-1相切. (1)求...

在平面直角坐标系内,动圆C过定点F(1,0),且与定直线x=-1相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹C2的方程;
(2)中心在O的椭圆C1的一个焦点为F,直线l过点M(4,0).若坐标原点O关于直线l的对称点P在曲线C2上,且直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程.
(1)根据抛物线的定义,动圆圆心C的轨迹是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,结合抛物线的基本概念即可求出C的轨迹C2的方程; (2)设P(m,n),直线l方程为y=k(x-4),根据OP被l垂直平分建立关于k、m、n的方程组,解之可得m=且n=-.将P的坐标关于k的形式代入抛物线方程,解之得k2=1,从而得到直线l的方程.然后根据直线l与椭圆C1有公共点,两方程联解并运用根的判别式解出a2+b2≥16,结合b2=a2-1可得a的最小值为,由此即可得到椭圆C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程. 【解析】 (1)由题意,可得 ∵圆心C到定点F(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等 ∴由抛物线定义知,C的轨迹C2是以F(1,0)为焦点, 直线x=-1为准线的抛物线 ∴动圆圆心C的轨迹C2的方程为y2=4x. (2)设P(m,n),直线l方程为y=k(x-4),则OP中点为(,), ∵O、P两点关于直线y=k(x-4)对称, ∴,即,解之得 将其代入抛物线方程,得:(-)2=4×,解之得k2=1. 设椭圆C1的方程为, 联列 ,消去y得:(a2+b2)x2-8a2x+16a2-a2b2=0 由△=(-8a2)2-4(a2+b2)(16a2-a2b2)≥0,得a2+b2≥16, 注意到b2=a2-1,即2a2≥17,可得a≥,即2a, 因此,椭圆C1长轴长的最小值为,此时椭圆的方程为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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