根据题意,依次分析4个命题:对于①,根据F(x)的解析式以及f(x)的定义域,可得a≤x≤b,a≤-x≤b,又由0<b<-a,可得F(x)定义域,可得①正确;对于②,举出反例,当f(x)>1时,可得F(x)的最小值不是0,故②错误;对于③,先求出F(-x),可得F(-x)=F(x),再结合F(x)的其定义域,可得F(x)为偶函数,故③正确;对于④,由于F(x)是偶函数,结合偶函数的性质,可得④错误;综合可得答案.
【解析】
根据题意,依次分析4个命题:
对于①,F(x)=f2(x)+f2(-x),有a≤x≤b,且a≤-x≤b,
而又由0<b<-a,则F(x)=f2(x)+f2(-x)中,x的取值范围是-b≤x≤b,即其定义域是[-b,b],则①正确;
对于②,由y=f(x)无零点,假设f(x)=2x,F(x)=22x+2-2x=22x+≥2,其最小值为2,故②错误;
对于③,F(-x)=f2(-x)+f2(x)=F(x),且其定义域为[-b,b],关于原点对称,
则F(x)为偶函数,③正确;
对于④,由于F(x)是偶函数,则F(x)在[-b,0]上与[0,b]上的单调性相反,故F(x)在其定义域内不会单调递增,④错误;
故选C.