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函数y=f(x)是定义在[a,b]上的增函数,其中a,b∈R,且0<b<-a,已...

函数y=f(x)是定义在[a,b]上的增函数,其中a,b∈R,且0<b<-a,已知y=f(x)无零点,设F(x)=f2(x)+f2(-x),则对于函数y=F(x)有如下四种说法:①定义域是[-b,b];②最小值是0;③是偶函数;④在定义域内单调递增.其中正确的说法是( )
A.①②③
B.②④
C.①③
D.①④
根据题意,依次分析4个命题:对于①,根据F(x)的解析式以及f(x)的定义域,可得a≤x≤b,a≤-x≤b,又由0<b<-a,可得F(x)定义域,可得①正确;对于②,举出反例,当f(x)>1时,可得F(x)的最小值不是0,故②错误;对于③,先求出F(-x),可得F(-x)=F(x),再结合F(x)的其定义域,可得F(x)为偶函数,故③正确;对于④,由于F(x)是偶函数,结合偶函数的性质,可得④错误;综合可得答案. 【解析】 根据题意,依次分析4个命题: 对于①,F(x)=f2(x)+f2(-x),有a≤x≤b,且a≤-x≤b, 而又由0<b<-a,则F(x)=f2(x)+f2(-x)中,x的取值范围是-b≤x≤b,即其定义域是[-b,b],则①正确; 对于②,由y=f(x)无零点,假设f(x)=2x,F(x)=22x+2-2x=22x+≥2,其最小值为2,故②错误; 对于③,F(-x)=f2(-x)+f2(x)=F(x),且其定义域为[-b,b],关于原点对称, 则F(x)为偶函数,③正确; 对于④,由于F(x)是偶函数,则F(x)在[-b,0]上与[0,b]上的单调性相反,故F(x)在其定义域内不会单调递增,④错误; 故选C.
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