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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1=2,AC=BC=1,且AC⊥...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1=2,AC=BC=1,且AC⊥BC,M是A1B1的中点.
(Ⅰ)求证:CB1∥平面AC1M;
(Ⅱ)设AC与平面AC1M的夹角为θ,求sinθ.

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(I)分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,可得C、C1、A、B1、A1各点的坐标,从而算出、和的坐标,证出=+,结合CB1⊄平面AC1M,即可证出CB1∥平面AC1M; (II)利用垂直向量数量积为零的方法,建立方程组解出向量=(2,-2,1)为平面AC1M的一个法向量,根据空间向量的夹角公式算出与夹角的余弦,结合直线与平面所成角的性质即可得出sinθ=|cos<,>|=. 【解析】 (I)因为CA、CB、CC1两两互相垂直,所以分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴, 建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示 则C(0,0,0),C1(0,0,2),A(1,0,0),B1(0,1,2),A1(1,0,2), ∵M是A1B1的中点,∴M(,,2) 由此可得,=(-,,2),=(,,0),=(0,1,2), ∴=+,可得∥平面AC1M ∵CB1⊄平面AC1M,∴CB1∥平面AC1M; (II)设向量=(x,y,z)为平面AC1M的一个法向量 则,取z=1,得x=2,y=-2, ∴=(2,-2,1)为平面AC1M的一个法向量 ∵=(-1,0,0), ∴cos<,>== ∵AC与平面AC1M的夹角为θ,∴sinθ=|cos<,>|=
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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