Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=2，AC=BC=1，且AC⊥BC，M是A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：CB₁∥平面AC₁M；
（Ⅱ）设AC与平面AC₁M的夹角为θ，求sinθ．

Answer

（I）分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，可得C、C1、A、B1、A1各点的坐标，从而算出、和的坐标，证出=+，结合CB1⊄平面AC1M，即可证出CB1∥平面AC1M；
（II）利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出向量=（2，-2，1）为平面AC1M的一个法向量，根据空间向量的夹角公式算出与夹角的余弦，结合直线与平面所成角的性质即可得出sinθ=|cos＜，＞|=．
【解析】
（I）因为CA、CB、CC1两两互相垂直，所以分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示
则C（0，0，0），C1（0，0，2），A（1，0，0），B1（0，1，2），A1（1，0，2），
∵M是A1B1的中点，∴M（，，2）
由此可得，=（-，，2），=（，，0），=（0，1，2），
∴=+，可得∥平面AC1M
∵CB1⊄平面AC1M，∴CB1∥平面AC1M；
（II）设向量=（x，y，z）为平面AC1M的一个法向量
则，取z=1，得x=2，y=-2，
∴=（2，-2，1）为平面AC1M的一个法向量
∵=（-1，0，0），
∴cos＜，＞==
∵AC与平面AC1M的夹角为θ，∴sinθ=|cos＜，＞|=