Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）求证：PD⊥面ABE；
（3）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

Answer

（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE．
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE．
（3）过点A作AF⊥PD，由（2）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角，用面积法求得AE 和AF，由  求得结果．
【解析】
（1）证明：PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：PA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．
（3）过点A作AF⊥PD，垂足为F，连接EF．
由（2）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角．
设AC=a，则，，，
从而，故 ．