Question

已知实数x，y∈（0，），且tanx=3tany，则x-y的最大值是    ．

Answer

先用两角差的正切公式和条件，求出tan（x-y）的表达式，然后再由已知代换，利用均值不等式求得tan（x-y）的最大值，再已知的条件求出x-y的范围从而得到结果．
【解析】
∵x，y∈（0，），∴tanx=3tany＞0，
∴tan（x-y）===，
∵≥2，当且仅当时取等号，即tany=，
∴tan（x-y）=≤，即tan（x-y）的最大值为，
∵x，y∈（0，），∴-＜x-y＜，则x-y最大值为，
故答案为：．