Question

已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，三个侧面均为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，C₁C=CA=CB=2，点D为棱CC₁的中点，点E在棱B₁C₁上运动．
（I）求证A₁C⊥AE；
（II）当点E到达某一位置时，恰使二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值为，求；
（III）在（II）的条件下，在平面ABC上确定点F，使得EF⊥平面A₁DB？并求出EF的长度．

Answer

（I）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），要证A1C⊥AE，可证⊥，只需证明=0，利用向量的数量积运算即可证明；
（II）分别求出平面EA1D、平面A1DB的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于，解得m值，由此可得答案；
（III）在（II）的条件下，设F（x，y，0），可知与平面A1DB的一个法向量平行，由此可求出点F坐标，进而求出||，即得答案；
【解析】
（I）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），
C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），
=（0，-2，-2），=（m，-2，2），
因为=0+（-2）×（-2）-2×2=0，
所以⊥，即A1C⊥AE；
（II）=（m，0，1），=（0，2，1），
设=（x，y，z）为平面EA1D的一个法向量，
则，即，取=（2，m，-2m），
=（2，0，-1），设=（x，y，z）为平面A1DB的一个法向量，
则，即，取=（1，-1，2），
由二面角E-A1D-B的平面角的余弦值为，得||=，解得m=1，
所以=；
（III）由（II）知E（1，0，2），且=（1，-1，2）为平面A1DB的一个法向量，
设F（x，y，0），则=（x-1，y，-2），且，所以x-1=-1，y=1，解得x=0，y=1，
所以=（-1，1，-2），||==，
故EF的长度为，此时点F（0，1，0）．